四面体的体积可以通过向量积（叉积）和混合积（标量三重积）高效计算，公式简洁且几何意义清晰。以下是具体推导和应用说明：

1. 向量积与混合积的核心概念

对于两向量 (vec{a} = (a_x, a_y, a_z)) 和 (vec{b} = (b_x, b_y, b_z))，其叉积为：

[

vec{a}

imes vec{b} = begin{vmatrix}

mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k}

a_x & a_y & a_z

b_x & b_y & b_z

end{vmatrix} = (a_y b_z

]

几何意义：结果向量的模长等于以 (vec{a}, vec{b}) 为邻边的平行四边形面积，方向垂直于两向量所在平面（符合右手定则）。

三向量 (vec{a}, vec{b}, vec{c}) 的混合积定义为 ((vec{a}

imes vec{b}) cdot vec{c})，其绝对值等于以它们为棱的平行六面体体积。坐标计算公式为：

[

(vec{a}

imes vec{b}) cdot vec{c} = begin{vmatrix}

a_x & a_y & a_z

b_x & b_y & b_z

c_x & c_y & c_z

end{vmatrix}

]

2. 四面体体积公式的推导

设四面体的四个顶点为 (A(x_1,y_1,z_1)), (B(x_2,y_2,z_2)), (C(x_3,y_3,z_3)), (D(x_4,y_4,z_4))。

[

overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1), quad

overrightarrow{AC} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1), quad

overrightarrow{AD} = (x_4-x_1, y_4-y_1, z_4-z_1)

]

[

V_{

ext{平行六面体}} = left| (overrightarrow{AB}

imes overrightarrow{AC}) cdot overrightarrow{AD} right|

]

该值表示以 (overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}, overrightarrow{AD}) 为棱的平行六面体体积。

[

V_{

ext{四面体}} = frac{1}{6} left| (overrightarrow{AB}

imes overrightarrow{AC}) cdot overrightarrow{AD} right| = frac{1}{6} left| begin{vmatrix}

x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1

x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1

x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1

end{vmatrix} right|

]

此公式对任意四面体均成立，无需垂直条件。

> 几何意义：

3. 行列式形式的等价公式

混合积可转化为更简洁的四阶行列式（齐次坐标形式）：

[

V = frac{1}{6} left| det begin{bmatrix}

x_1 & y_1 & z_1 & 1

x_2 & y_2 & z_2 & 1

x_3 & y_3 & z_3 & 1

x_4 & y_4 & z_4 & 1

end{bmatrix} right|

]

此形式无需指定基点 (A)，计算时直接代入四点坐标即可。

4. 实例演算

问题：求顶点为 (A(1,1,1)), (B(1,2,3)), (C(1,1,2)), (D(3,-1,2)) 的四面体体积。

解：

1. 构造向量（以 (A) 为基点）：

[

overrightarrow{AB} = (0,1,2), quad overrightarrow{AC} = (0,0,1), quad overrightarrow{AD} = (2,-2,1)

]

2. 计算混合积：

[

(overrightarrow{AB}

imes overrightarrow{AC}) cdot overrightarrow{AD} = begin{vmatrix}

0 & 1 & 2

0 & 0 & 1

2 & -2 & 1

end{vmatrix} = 0 cdot (0 cdot 1

]

3. 体积：

[

V = frac{1}{6} |2| = frac{1}{3}

]

结果正确。

5. 注意事项

此方法将复杂的立体体积计算转化为向量运算，适用于计算机图形学、地质建模及工程分析等领域。