方法一：向量叉乘法（点法式）

步骤说明：

1. 确定两个向量

假设已知三点为 ( A(x_1, y_1, z_1) ), ( B(x_2, y_2, z_2) ), ( C(x_3, y_3, z_3) )，计算向量 ( overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) ) 和 ( overrightarrow{AC} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1) )。

2. 计算法向量

通过向量叉乘求平面的法向量 ( mathbf{n} = overrightarrow{AB}

imes overrightarrow{AC} )，分量公式为：

[

mathbf{n} = left( (y_2-y_1)(z_3-z_1)

]

原理：叉乘结果垂直于两个原始向量，即平面的法线方向。

3. 构建平面方程

使用点法式方程 ( A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0 )，其中 ( (A, B, C) ) 为法向量 ( mathbf{n} )。将任意一点（如点A）代入方程，化简为一般式 ( Ax + By + Cz + D = 0 )，其中 ( D = -(Ax_1 + By_1 + Cz_1) )。

方法二：代入一般式求解方程组

步骤说明：

1. 设定方程形式

平面的一般方程为 ( Ax + By + Cz + D = 0 )，其中 ( A, B, C, D ) 为待定系数。

2. 列出方程组

代入三个点的坐标，得到方程组：

[

begin{cases}

Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0

Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0

Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0

end{cases}

]

3. 消元求解

通过消元法或矩阵运算解出 ( A, B, C, D ) 的比例关系。通常可假设 ( D = 1 ) 简化计算（若 ( D

eq 0 )），最终方程需归一化处理。

方法三：行列式法

通过三点构建行列式形式的平面方程：

[

begin{vmatrix}

x & y & z & 1

x_1 & y_1 & z_1 & 1

x_2 & y_2 & z_2 & 1

x_3 & y_3 & z_3 & 1

end{vmatrix} = 0

]

展开行列式后整理为一般式，适用于编程实现。

特殊情形与验证

1. 截距式方程

若平面与坐标轴交于 ( (a, 0, 0) ), ( (0, b, 0) ), ( (0, 0, c) )，则方程为 ( frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1 )（需满足 ( D

eq 0 )）。

2. 共线性检验

若三点共线（向量 ( overrightarrow{AB} ) 与 ( overrightarrow{AC} ) 平行），则无法确定唯一平面，需重新选点。

示例

已知三点 ( A(1, 1, 1) ), ( B(2, 3, 4) ), ( C(5, 7, 6) )：

1. 计算向量 ( overrightarrow{AB} = (1, 2, 3) ), ( overrightarrow{AC} = (4, 6, 5) )。

2. 叉乘法向量 ( mathbf{n} = overrightarrow{AB}

imes overrightarrow{AC} = (-8, 7, -2) )。

3. 平面方程为 ( -8(x-1) + 7(y-1) -2(z-1) = 0 )，化简为 ( -8x + 7y