一、圆台体积公式

标准公式：

[ V = frac{1}{3}pi h left( R^2 + Rr + r^2 right) ]

其中：

二、推导过程

方法1：圆锥减法推导（几何法）

圆台可视为 大圆锥截去小圆锥 后的剩余部分。推导步骤如下：

1. 假设大圆锥高度为 ( H )，底面半径为 ( R )；小圆锥高度为 ( H

2. 相似三角形关系：通过圆锥的相似性，得到比例关系：

[ frac{r}{R} = frac{H

3. 圆锥体积公式：大圆锥体积 ( V_1 = frac{1}{3}pi R^2 H )，小圆锥体积 ( V_2 = frac{1}{3}pi r^2 (H

4. 圆台体积：

[

V = V_1

]

5. 代入 ( H = frac{hR}{R

[

V = frac{1}{3}pi h left( R^2 + Rr + r^2 right)

]

引用来源：

方法2：微积分推导（积分法）

将圆台视为 无数个半径为 ( x ) 的薄圆片堆叠，通过积分求和：

1. 建立坐标系：设圆台高度为 ( h )，底面半径从 ( r ) 线性变化到 ( R )，任一高度 ( z ) 处的半径 ( x = r + frac{(R

2. 薄圆片体积：[ mathrm{d}V = pi x^2 mathrm{d}z ]

3. 积分范围：从 ( z = 0 ) 到 ( z = h )，积分得：

[

V = int_0^h pi left( r + frac{(R

]

4. 展开并计算积分，最终化简结果为上述公式。

引用来源：

三、关键性质与拓展

1. 几何特性：

2. 体积公式对比：

四、实际应用与代码实现

通过编程可直接计算圆台体积，Python示例如下：

python

import math

def yuantai_volume(R, r, h):

return (1/3) math.pi h (R2 + Rr + r2)

引用来源：

总结

圆台体积公式通过 几何减法 或 积分法 均可推导，其核心在于理解圆台与圆锥的关系或微元叠加思想。应用时需注意上下底半径和高度的实际测量值。