夹角公式是数学中用于计算几何对象（如直线、向量、平面等）之间夹角的重要工具，根据应用场景不同分为多种类型。以下是主要分类及公式详解：

一、两直线的夹角公式

1. 正切公式

当两条直线斜率分别为 (k_1)、(k_2) 时，其夹角 (

heta) 的正切值为：

[

an

heta = left| frac{k_2

]

适用条件：斜率存在且夹角不为90°。若夹角为90°，则两直线垂直，此时斜率满足 (k_1 cdot k_2 = -1)。

2. 余弦公式

若直线方程分别为 (A_1x + B_1y + C_1 = 0) 和 (A_2x + B_2y + C_2 = 0)，方向向量分别为 (u=(-B_1, A_1)) 和 (v=(-B_2, A_2))，则夹角余弦为：

[

cos

heta = frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{sqrt{A_1^2 + B_1^2} cdot sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

]

特点：适用于任何斜率情况，包括垂直情形。

二、向量的夹角公式

1. 平面向量夹角

设向量 (mathbf{a}=(x_1, y_1))，(mathbf{b}=(x_2, y_2))，其夹角 (

heta) 的余弦公式为：

[

cos

heta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|} = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2} cdot sqrt{x_2^2 + y_2^2}}

]

范围：(

heta in [0, pi])，当结果为负时表示钝角。

2. 三维向量夹角

推广到三维空间，向量 (mathbf{a}=(x_1, y_1, z_1)) 和 (mathbf{b}=(x_2, y_2, z_2)) 的夹角公式为：

[

cos

heta = frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} cdot sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}

]

应用：广泛用于空间几何、物理力学中的方向分析。

三、直线与平面的夹角公式

当直线方向向量为 (mathbf{a}=(m, n, p))，平面法向量为 (mathbf{n}=(A, B, C)) 时，直线与平面夹角 (

heta) 的正弦公式为：

[

sin

heta = frac{|mathbf{a} cdot mathbf{n}|}{|mathbf{a}| |mathbf{n}|} = frac{|mA + nB + pC|}{sqrt{m^2 + n^2 + p^2} cdot sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

]

几何意义：夹角为直线与平面法向量夹角的补角，范围 ([0, frac{pi}{2}])。

四、注意事项与扩展

1. 夹角范围区别：

2. 特殊情形处理：

3. 实际应用：

线面夹角