有效数字（Significant Figures）是表示测量或计算结果的数字中，具有实际意义的数字位数，用于反映数据的精确程度。以下是其详细说明及示例：
一、定义与基本规则
1. 有效数字的构成
有效数字包含所有准确数字和最后一位估计值（可疑数字）。例如：
测量值1.1080g中，前四位“1.108”是准确读取的，末位“0”是估读的。
2. 判断规则
首位非零数字开始：从第一个非零数字起，到末位数字为止的所有数字均为有效数字。
例：0.0518（3位有效数字）、3.141（4位有效数字）。
科学记数法：不影响有效位数。如0.05180写作(5.180
imes 10^{-2})仍为4位有效数字。
末尾的零有意义：如1.50kg（3位有效数字）与1.5kg（2位有效数字）的精度不同。
二、有效数字的运算规则
1. 加减法
结果的小数位数与运算数中小数点后位数最少者一致。
例：2643.0 + 987.7 + 4.187 = 3635.0（保留一位小数）。
2. 乘除法
结果的有效位数与运算数中有效位数最少者一致。
例：0.0325 × 5.103 ÷ 139.8 = 0.0711（三位有效数字）。
3. 特殊函数运算
对数：结果的小数位数与真数的有效位数相同。如(lg(5.6
imes 10^{-13}))保留2位有效数字。
三角函数/指数函数：结果的有效位数与角度的有效位数或指数的精度相关。
三、有效数字的修约规则
1. 四舍六入五留双
4以下舍去，6以上进位：如3.142保留三位有效数字为3.14，3.146则为3.15。
末位为5时：若前一位为偶数则舍去，为奇数则进位。
例：4.995修约为三位有效数字→5.00；4.994→4.99。
2. 连续修约禁止
只能对最终结果修约，避免中间步骤多次修约导致误差放大。
例：20.845修约为20.8（正确），若中间分步修约则可能得到错误结果20.9。
四、应用示例
1. 测量实例
用毫米刻度尺测得木棍长876mm（误差限0.5mm），有效数字为3位，表示真实值在875.5~876.5mm之间。
化学实验称量1.1080g，末位0反映天平精度为万分之一克。
2. 数值分析实例
圆周率近似值3.1415926与真实值误差小于(0.5
imes 10^{-6})，因此有7位有效数字。
五、意义与注意事项
1. 反映测量精度：有效数字位数越多，测量工具越精密。
2. 避免误导表达：如“1000m”可能表示1~4位有效数字，需结合上下文或科学记数法明确（如(1.000
imes 10^3)为4位）。
3. 特殊数值处理：自然数（如分子式中的系数）或常数（如π）的有效位数视为无限。
通过以上规则，有效数字能科学地平衡数据的精确性与实用性，广泛应用于实验记录、工程计算和数据分析中。
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